sin⁴x + sin⁴( п/4 + x ) + sin⁴( х - п/4 ) = 1/2
Преобразуем данное выражение, упростив слагаемые, то есть рассмотрев каждое из слагаемых:
▪sin⁴( x + п/4 ) = ( sin( x + п/4 ) )⁴ = ( V2/2•sinx + V2/2•cosx )⁴ = ( V2/2•( sinx + cosx ) )⁴ = 1/4 • ( sinx + cosx )⁴ = 1/4 • ( ( sinx + cosx )² )² = 1/4 • ( 1 + sin2x )² = 1/4 • ( 1 + 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4
▪sin⁴( x - п/4 ) = ( sin( x - п/4 ) )⁴ = ( V2/2•sinx - V2/2•cosx )⁴ = ( V2/2•( sinx - cosx ) )⁴ = 1/4 • ( sinx - cosx )⁴ = 1/4 • ( ( sinx - cosx )² )² = 1/4 • ( 1 - sin2x )² = 1/4 • ( 1 - 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4
sin⁴x + 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4 + 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4 = 1/2
sin⁴x + sin²2x/2 = 0
2sin⁴x + ( 2sinx•cosx )² = 0
2sin⁴x + 4sin²x•cos²x = 0
2sin²x • ( sin²x + 2cos²x ) = 0
1) 2sin²x = 0 ⇒ sinx = 0 ⇒ x = пn , n ∈ Z
2) sin²x + 2cos²x = 0 , делим обе части на cos²x ≠ 0
tg²x + 2 = 0
tg²x = - 2 ⇒ не имеет смысла ∅
Ответ: х = пn , n ∈ Z