Нужна помощь. Лимиты и интегралы абсолютно не моё.. Задание прикрепляю скриншотом

Ответ:

1) $5$ . 2) $4,5$ 3) $y'=-2x(1+3x)$

Пошаговое объяснение:

Задание 1.

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+5x)}{x}\\$

$\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+5x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{ln(1+5*0)}{0}=\frac{0}{0}$

Раскроем неопределенность вида ( $\frac{0}{0}$ ) по правилу Лопиталя ( предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных ):

$\lim_{x \to \alpha } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \alpha } \frac{f'(x)}{g'(x)}\\$

$\lim_{x \to 0} \frac{(ln(1+5x))'}{(x)'}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{1+5x} }{1}=\lim_{x \to 0} \frac{5}{1+5*0}=5\\$

Задание 2.

$\int\limits^7_0 {\frac{dx}{ \sqrt[3]{8-x} } }$

Произведем замену:

$\\| \ 8-x=t\ |\\| \ dx=-dt\ |\\$

Новые пределы интегрирования:

$x\ 0\ 7\\t\ \ 8\ 1$ $\\$

$\int\limits^1_8 {-\frac{dt}{\sqrt[3]{t} } }=-\int\limits^1_8 {t^{(-\frac{1}{3}) } \, dt=\int\limits^8_1 {t^{(-\frac{1}{3}) } \, dt=\frac{t^{(-\frac{1}{3}+1) }}{-\frac{1}{3}+1 }|^8_1 =\frac{t^{\frac{2}{3} }}{\frac{2}{3} }|^8_1=\\$

$\frac{3\sqrt[3]{t^2} }{2}|^8_1 =\frac{3\sqrt[3]{8^2} }{2}-\frac{3\sqrt[3]{1^2} }{2}=\frac{9}{2}=4,5$

Задание 3.

$y=7-x^2-2x^3\\y'=-2x-6x^2\\y'=-2x(1+3x)$