Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
\(\log_{4}{16}=2\)
б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\).
\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)
В сложных случаях для вычисления логарифма удобно переводить его в показательное уравнение.
Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)
Решение:
\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма:
\(\log_{a}{c}=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^{b}=c\)
\((4\sqrt{2})^{x}=8\)
Что связывает \(4\sqrt{2}\) и \(8\)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки:
\(4=2^{2}\) \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) \(8=2^{3}\)
\({(2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}})}^{x}=2^{3}\)
Слева воспользуемся свойствами степени: \(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}\) и \((a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}\)
\(2^{\frac{5}{2}x}=2^{3}\)
Основания равны, переходим к равенству показателей
\(\frac{5x}{2}\)\(=3\)
Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{5}\)
\(x=1,2\)
Получившийся корень и есть значение логарифма
Ответ: \(\log_{4\sqrt{2}}{8}=1,2\)
Зачем придумали логарифм?
Чтобы это понять, давайте решим уравнение: \(3^{x}=9\). Просто подберите \(x\), чтобы равенство сработало. Конечно, \(x=2\).
А теперь решите уравнение: \(3^{x}=8\).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.
Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как \(x=\log_{3}{8}\).
Хочу подчеркнуть, что \(\log_{3}{8}\), как и любой логарифм - это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: \(1,892789260714.....\)
Пример: Решите уравнение \(4^{5x-4}=10\)
Решение:
\(4^{5x-4}=10\)
\(4^{5x-4}\) и \(10\) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма.
Воспользуемся определением логарифма:
\(a^{b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\)
\(\log_{4}{10}=5x-4\)
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
\(5x-4=\log_{4}{10}\)
Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
\(5x=\log_{4}{10}+4\)
Поделим уравнение на 5
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.
Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)