Проекции вектора АВ равны:
АВх = хВ - хА = 0 - 3 = -3; АВу = уВ - уА = 5 - 2 = 3
Длина вектора IАВI = √((- 3)² + 3²)) = √18
Проекции вектора ВС равны:
ВСх = хС - хВ = -3 - 0 = -3; ВСу = уС - уВ = 2 - 5 = -3
Длина вектора IВСI = √((- 3)² + (-3)²) = √18
Проекции вектора СD равны:
СDх = хD - хC = 0 + 3 = 3; СDу = уD - уC = -1 - 2 = -3
Длина вектора IСDI = √( 3² + (-3)²) = √18
Проекции вектора DA равны:
DAх = хA - хD = 3 - 0 = 3; DAу = уA - уD = 2 + 1 = 3
Длина вектора IСDI = √( 3² + 3²) = √18
Итак, все стороны четырёхугольника АВСD равны по величине.
Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник является ромбом.
Скалярное произведение векторов АВ и ВС:
АВ · ВС = АВх · ВСх + АВу · ВСу = -3 · (-3) + 3 · (-3) = 0; Векторы АВ и ВС перпендикулярны.
Скалярное произведение векторов CD и ВС
СD · ВС = CDх · ВСх + CDу · ВСу = 3 · (-3) + (-3) · (-3) = 0; Векторы CD и ВС перпендикулярны.
Два угла ромба АВСD, прилежащие к одной стороне ВС прямые, следовательно и два других угла ромба прямые.
Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.
Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСD - квадрат cо стороной
а = √18
Площадь квадрата АВСD: S = а² = 18