Найдите точки экстремума функции u (x, y)

для нахождения точек экстремума функции нужно решить систему уравнений:

$\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial x}=0,\\\frac{\partial u}{\partial y}=0;\end{cases}$

где $\frac{\partial u}{\partial }$ - соответствующие частне производные. Получим:

$\begin{cases}3x^2+2x-1=0,\\2y+1=0;\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x_1=-1,\,x_2=\frac{1}{3},\\y=-\frac{1}{2}.\end{cases}$

то есть имеем 2 критические точки $A\left(-1;-\frac{1}{2}\right),\,B\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{2}\right)$

Поскольку в точке А:

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-(\left\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}\right)^2=-4\cdot 2-0=-8<0$

то в этой точке нет экстремума функции

а в точке B:

0" alt="\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\cdot\frac{\partial^2u}{\partial y^2}-(\left\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}\right)^2=4\cdot 2-0=8>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

есть экстремум.

Ответ: $B\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{2}\right)$ - единственная точка экстремума.