Даны векторы а(2; 2; 6), в(-1; -2; -2) и с(0; -2; -1).
а) Находим 2с = (0; -4; -2), определяем в - 2с = (-1; 2; 0).
Проекция вектора а на направление (в - 2с) равно:
Пр ba = (a · b)/|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 2 · (-1) + 2 · 2 + 6 · 0 = -2 + 4 + 0 = 2
Найдем модуль вектора:
|b| = √(bx² + by² + bz²) = √((-1)² + 2² + 0²) = √(1 + 4 + 0) = √5
.
Пр ba = 2/√5 = 2√5/ 5 ≈ 0,894427.
б) Площадь равна векторному произведению.
Решение: S = |a × b|
Найдем векторное произведение векторов:
с = a × b =
ijk
axayaz
bxbybz
=
ijk
226
-1-2-2
= i (2·(-2) - 6·(-2)) - j (2·(-2) - 6·(-1)) + k (2·(-2) - 2·(-1)) =
= i (-4 + 12) - j (-4 + 6) + k (-4 + 2) = {8; -2; -2}
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(8² + (-2)² + (-2)²) = √(64 + 4 + 4) = √72 = 6√2
.
Найдем площадь параллелограмма:
S = 6√2 ≈ 8.485281.