Решить уравнение cos^2x-3sin^2x=-sin^2x

Решить уравнение.

$cos^2(x) - 3sin^2(x) = -sin^2(x);\\cos^2(x) = 3sin^2(x) - sin^2(x);\\cos^2(x) = 2sin^2(x).$

Если sin²(x) = 0, то cos²(x) по данному уравнению тоже должен быть равен нулю. Но из основного тригонометрического тождества sin²(x) + cos²(x) = 1. Получено противоречие, ведь 0 + 0 ≠ 1. Отсюда sin²(x) ≠ 0, значит имеем право делить на него.

$cos^2(x) = 2sin^2(x);\;|:sin^2(x)\\ctg^2(x) = 2;\\\left[\begin{array}{c}ctg(x) = \sqrt2,&ctg(x) = -\sqrt2;\end{array} \Longleftrightarrow\left[\begin{array}{c}x = arcctg(\sqrt2) + \pi k,\; k\in Z,&x = arcctg(-\sqrt2) + \pi m,\; m\in Z;\end{array}\Longleftrightarrow$

$\left[\begin{array}{c}x = arcctg(\sqrt2) + \pi k,\; k\in Z,&x = \pi - arcctg(\sqrt2) + \pi m,\; m\in Z.\end{array}$

Решить уравнение cos^2x-3sin^2x=-sin^2x

Решить уравнение.

Ответ:

Ответ: $\bf x = arcctg(\sqrt2) + \pi k,\; k\in Z,\\x = \pi - arcctg(\sqrt2) + \pi m,\; m\in Z.$