Пусть АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = в.
Отношение R/в = 1/√3, отсюда R = в/√3.
Используем формулу S = (авс)/(4R).
Подставим S = (5*в*3)/(4в/√3) = 15√3/4.
Полупериметр р = (3+5+в)/2 = (8 + в)/2 = 4 + (в/2).
Применим формулу Герона (в квадрате):
S² = р(р-а)(р-в)(р-с).
(225*3)/16 = (4 + (в/2))*(4 + (в/2) - 5)*(4 + (в/2) - в)*(4 + (в/2) - 3),
675/16 = (4 + (в/2))*((в/2) - 1)*(4 - (в/2))*( (в/2) + 1), попарно сгруппируем как разность квадратов.
675/16 = (16 - (в²/4))*((в²/4) - 1) = 4в² - (в⁴/16) - 16 + (в²/4).
Приводим к общему знаменателю, приравниваем числители и получаем биквадратное уравнение:
в⁴ - 68в² + 931 = 0.
Заменяем в² = t.
t² - 68t + 931 = 0.
D=(-68)^2-4*1*931=4624-4*931=4624-3724=900;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
t_1=(√900-(-68))/(2*1)=(30-(-68))/2=(30+68)/2=98/2=49;
t_2=(-√900-(-68))/(2*1)=(-30-(-68))/2=(-30+68)/2=38/2=19.
Получаем 2 значения длины стороны:
в = √49 = 7 см и в = √19 см.
Ответ: периметр треугольника возможен 5+3+7 = 15 см
или (8 +√19) см.