√2cosx-sinx=√3 Объясните полное решение

0 голосов
103 просмотров

√2cosx-sinx=√3 Объясните полное решение


Математика (12 баллов) | 103 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Відповідь:


Покрокове пояснення:

√2cosx-sinx=√3;

Подстановка: cosx = \frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}};

sinx = \frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}

\sqrt{2} \frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}-\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}=\sqrt{3};\\ \sqrt{2}(1-tg^2\frac{x}{2} })-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}(1+tg^2\frac{x}{2});\\\sqrt{2}-\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}+\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2};\\\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2}+\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;\\(\sqrt{3}+\sqrt{2})tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;

Замена:

tg\frac{x}{2}=t

(\sqrt{3}+\sqrt{2})t^2+2t+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;

D=4-4(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=0;\\t_1=t_2=\frac{-2}{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}

Возвращаемся к замене:

tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}

tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3};\\\frac{x}{2}=arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\pi n\\x=2arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2\pi n

(8.8k баллов)