Даны вершины тетраэдра А(-1; -5; 2), B(-6; 1; -1, )C (3; 6; -3) и Д (-10; 6; 7).
1) Длина ребра АС = √((3-(-1))² + (6-(-5))² + (-3-2)²) =
= √(16 + 121 + 25) = √162 ≈ 12,727922.
2) Площадь грани АСД равна половине модуля векторного произведения (АС х АД).
Вектор АС = (4; 11; -5), вектор АД = (-9; 11; 5).
Решение: S = (1/2)|a × b|
Найдем векторное произведение векторов: c = a × b
a × b =
ijk
axayaz
bxbybz
=
ijk
411-5
-9115
= i (11·5 - (-5)·11) - j (4·5 - (-5)·(-9)) + k (4·11 - 11·(-9)) =
= i (55 + 55) - j (20 - 45) + k (44 + 99) = {110; 25; 143}.
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √(110² + 25² + 143²) = √(12100 + 625 + 20449) = √33174 = 3√3686.
Найдем площадь треугольника:
S = (1/2)*3√3686 = 3√3686/ 2 ≈ 91.068655 кв.ед.
3) Объем тетраэдра равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
Вектор АВ = (-5; 6; -3).
(АВ х АС) =
ijk
-56-3
411-5
= i (6·(-5) - (-3)·11) - j ((-5)·(-5) - (-3)·4) + k ((-5)·11 - 6·4) =
= i (-30 + 33) - j (25 + 12) + k (-55 - 24) = {3; -37; -79}.
Объем пирамиды
xyz
AB*AC3-37-79
AD-9115
Произведение равно(-27; -407; -395) = -829.
V = (1/6)*829 = 138,1667 куб.ед.
4) Высота тетраэдра ДЕ равна H=3V/Sосн.
Sосн = (1/2)*|ABxAC) = (1/2)*√(3² + (-37)² + (-79)²) =
= √(9 + 1369 + 6241) =√7619 ≈ 43,643442.
Н = 3*(829/6)/(√7619/2) = 829/√7619 ≈ 9,497418.