Дано: Y = x/(x²-4)
Исследование:
1. Область определения: В знаменателе: х² - 4 = (х-2)*(х+2)
D(y)= X≠ 2, X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞).
Не допускаем деления на 0 в знаменателе. Два разрыва.
2.Поведение в точках разрыва.
LimY(-2-)= -∞, LimY(-2+)= -∞. Вертикальная асимптота - х = -2.
LimY(2-)= -∞, LimY(2+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = 2.
Неустранимые разрывы II-го рода.
3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.
k = lim(+∞)Y(х)/x = 1/(x²- 4) = 0 - коэффициент наклона. y = 0 - горизонтальная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0. Х=0.
5. Пересечение с осью ОУ. Y(0)= 0.
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-2)∪(0;-2). </p>
Положительна: Y>0 - X∈(-2;0)∪(2;+∞).
7. Проверка на чётность. Сдвига по осям ОХ и ОУ - нет.
Функция нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) - центральная симметрия.
8. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 1/(x²-4) - 2*x/(x²-4)² = 0. Корней - нет.
9. Локальные максимумы - нет.
10. Интервалы монотонности.
Убывает: X∈(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞) = D(y) - везде, где существует.
11. Поиск перегибов по второй производной.
y''(x) =2*x*(x²+12)/(x²-4)³ = 0.
Точки перегиба: Х₁ = -2, X₂ = 0, X₃ = 2.
12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-2)∪(0;2).
Вогнутая - 'ложка'- X∈(-2;0)∪(2;+∞;).
13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
14. График функции на рисунке в приложении.
