Найти общее решение дифференциального уравнения:

Ответ:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}\\$

Пошаговое объяснение:

это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, найдем решение вида

$y=e^{kx}$ , где к - некоторое число.

Подставим в уравнение:

$(e^{kx})''-6*(e^{kx})'+9*e^{kx}=0\\k^{2}*e^{kx}-6k*e^{kx}+9*e^kx}=0|*e^{-kx}\\k^{2}-6k+9=0$

кстати, это называется характеристическое уравнение дифференциального однородного уравнения..

$k_{1}=k_{2}=-3\\$

Таким образом решение:

$y=(C_{1}+C_{2}x)e^{-3x}\\$

P.S.

по Вашим данным можно найти и частное решение:

$y(0)=1:\\1=(C_{1}+C_{2}*0)e^{(-3*0)}\\1=C_{1}*e^{0}=C_{1}\\y(x)=(1+C_{2}x)e^{-3x}\\y'(0)=0:\\y'(x)=(e^{-3x}+C_{2}xe^{-3x})'=(e^{-3x})'+C_{2}(xe^{-3x})'=-3*e^{-3x}+C_{2}(e^{-3x}-3xe^{-3x})=(-3+C_{2}(1-3x))e^{-3x}\\0=(-3+C_{2}(1-3*0))e^{(-3*0)}=(-3+C_{2})*1;C_{2}=3\\\\y(x)=(1+3x)e^{-3x}$