Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка

Question 1

Question 2

Решите задачу:

$(1+x^2)\cdot y''+(y')^2+1=0\; \; \; \to \; \; \; F(x,y',y'')=0\; \; \to \\\\u=y'(x)\; ,\; \; u'=y''\; ,\\\\(1+x^2)\cdot u'+u^2+1=0\; ,\; \; \frac{du}{dx}=-\frac{1+u^2}{1+x^2}\; ,\\\\\int \frac{du}{1+u^2}=-\int \frac{dx}{1+x^2}\\\\arctgu=-(arctgx+C_1)\; \; \Rightarrow \; \; u=-tg(arctgx+C_1)\\\\u=-\frac{tg(arctgx)+tgC_1}{1-tg(arctgx)\cdot tgC_1}\; ,\; \; \; (\; tgC_1=const\; ,\; \; tgC_1=C\; )\\\\u=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\; \; \to \; \; y'(x)=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\\\\\int dy=-\int \frac{x+C}{1-C\cdot x}\, dx\; \; ,\; \; \int dy=\int \frac{x+C}{C\cdot x-1}\, dx\\\\y=\frac{1}{C}\cdot \int \frac{x+C}{x-\frac{1}{C}}\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C+\frac{1}{C}}{x-\frac{1}{C}}\Big )\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C^2+1}{C}\cdot \frac{1}{x-\frac{1}{C}}\Big )dx=\\\\=\frac{1}{C}\int dx+\frac{C^2+1}{C}\cdot \int \frac{dx}{x-\frac{1}{C}}=\frac{1}{C}\cdot x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|x-\frac{1}{C}|+C_2\; ;$

$y=\frac{x}{C}+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|\frac{Cx-1}{C}|+C_2$

$P.S.\; \; \int \frac{x+C}{Cx-1}\, dx=\int \frac{Cx-1+1+C^2}{Cx-1}\, dx=\int (1+\frac{C^2+1}{Cx-1})dx=\\\\=x+(C^2+1)\cdot \frac{1}{C}\, ln|Cx-1|+C_2\; ;\\\\\underline {y=x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|Cx-1|+C_2\; ,\; \; C=tgC_1\; ,\; \frac{1}{C}=ctgC_1}$

Question 3

Благодарю за помощь. У Вас в решении тоже опечатка по-моему. Когда считаем интеграл - вторая строчка перед P.S. - мы выносим (C^2+1)/C в качестве множителя за интеграл, при этом у нас уже перед интегралом находится множитель 1/С. Они перемножаются и будет вроде как (С^2+1)/(C^2), т.е в знаменателе должно быть C^2 в первом варианте записи ответа.

Question 4

Да, не умножила.

Question 5

Понизим порядок заменой $y'=u(x)$ , тогда $y''=u'(x)$ , получим

$(1+x^2)u'+u^2+1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}=\dfrac{-1-u^2}{x^2+1}~~\Rightarrow~~-\int\dfrac{du}{1+u^2}=\int\frac{dx}{1+x^2}~~\Rightarrow~~ -{\rm arctg}\, u={\rm arctg}\, x+C_1$

Выполнив обратную замену $u=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+C_1)$ , получим

$y'=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+C_1)\\ \\ y=\displaystyle \int -{\rm tg}({\rm arctg}\,x+C_1)dx$

$-{\rm tg}({\rm arctg}\,x+C_1)=-\dfrac{{\rm tg}({\rm arctg}\, x)+{\rm tg}\, C_1}{1-{\rm tg}({\rm arctg}\, x){\rm tg}\, C_1}=\dfrac{x+{\rm tg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}$

Тогда

$y=\displaystyle \int\dfrac{x+{\rm tg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}dx=\int \bigg(\frac{({\rm tg}^2C_1+1){\rm ctg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}+{\rm ctg}\, C_1\bigg)dx=\\ \\ \\ =\left({\rm tg}\, C_1+{\rm ctg}\, C_1\right)\int\frac{dx}{x{\rm tg}\, C_1-1}+{\rm ctg}\, C_1\int dx=\\ \\ \\ =({\rm tg}\, C_1+{\rm ctg}\, C_1)\cdot {\rm ctg}C_1\ln|x{\rm tg}\, C_1-1|+x{\rm ctg}\, C_1+C_2=\\ \\ \\ =\boxed{({\rm ctg}^2C_1+1)\ln|x{\rm tg}\, C_1-1|+x{\rm ctg}\, C_1+C_2}$

Question 6

Хотел уточнить, на этапе расчёта интеграла куда исчезает x из числителя после первого равно? Не совсем понятен переход от "x+tg C" к "(tg^2 C +1)*ctg C."

Question 7

Я умножил числитель и знаменатель дроби на tg(C1) и затем разбил на две дроби

Question 8

То что я разбил можете проверить что оно равно исходному выражению )

Question 9

(x+tg(C1))*tg(C1) = xtg(C1) + tg^2(C1) = xtg(C1) + 1 + (tg^2(C1)-1)

Question 10

Отсюда и разбиваете на две дроби

Question 11

То что в знаменателе умножили tg(C1) мы можем его представить 1 / ctg(C1) и закинуть сразу в числитель

Question 12

Понял. Спасибо огромное. Вы мне очень помогли)

Question 13

На здоровье!)

Question 14

У вас описка в 2-х последних строчках. Надо x*сtgC1, а не x*ctgx .

Question 15

спасибо, благодарю за находчивость! Исправлю как только смогу