Найдите наибольшую площадь трапеции, три стороны которой равны 8 см

Основание AD не может быть равен 8, так что AB=BC=CD=8 см.

Обозначим AD=x, тогда $AE=FD=\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{x-8}{2}$

Из прямоугольного треугольника CFD, по теореме Пифагора:

$CF=\sqrt{64-\dfrac{(x-8)^2}{4}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{192+16x-x^2}$

Рассмотрим функцию: $S(x)=\dfrac{x+8}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sqrt{192+16x-x^2}=\dfrac{x+8}{4}\sqrt{192+16x-x^2}$

Производная функции:

$S'(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt{192+16x-x^2}+\dfrac{x+8}{4}\cdot\dfrac{(16-2x)}{2\sqrt{192+16x-x^2}}=\\ \\ =\dfrac{192+16x-x^2+64-x^2}{4\sqrt{192+16x-x^2}}=\dfrac{256+16x-2x^2}{4\sqrt{192+16x-x^2}}=0~~\Leftrightarrow~~ x=16$

0~~~\Leftrightarrow~~~ x \in (-8;24)" alt="192+16x-x^2>0~~~\Leftrightarrow~~~ x \in (-8;24)" align="absmiddle" class="latex-formula">

(0)___+___(16)__-___(24)

Производная функции в точке х=16 меняет знак с (+) на (-), следовательно, х=16 - точка максимума.

$S(16)=\dfrac{16+8}{4}\sqrt{192+16\cdot16-16^2}=6\sqrt{192}=48\sqrt{3}$ см²

Ответ: 48√3 см²