4. Даны координаты точек: A1(7; 2; 4), A(7; -1; -2), A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).
а) вычислить объём тетраэдра A1 A2 A3 A4.
Находим координаты векторов:
A1 A2 = (0; -3; -6),
A1 A3 = (-4; 1; -3).
A1 A4 = (-11; 0; -3).
Находим векторное произведение (A1 A2) х A1 A3).
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} Подставив данные, получаем: x y z
(A1 A2) х A1 A3) = 15 24-12.
Теперь определяем смешанное произведение векторов:
(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = abs(a{x1, y1, z1} ; b{x2, y2, z2} ; c{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = |(15*(-11) + (24*0+ (-12)*(-3))| = |-165 + 0 + 36| = 129.
Объём пирамиды равен (1/6)*129 = 21,5 куб.ед.
б) составить уравнение плоскости A1 A2 A3.
Если вектор N(A1 А2) - вектор-нормаль плоскости, а точка M
0(x0; y0; z0) - лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по формуле:
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Т.к. векторное произведение - это вектор ортогональный векторам в произведении, то в качестве вектор-нормали плоскости можно взять векторное произведение любых неколлинеарных векторов лежащих на плоскости. Возьмём вектор А1А2, который уже определён.
В качестве точки лежащей на плоскости можно взять любую из трех данных точек. Возьмём точку A1(7; 2; 4).
Подставим в формулу найденные числа и раскроем скобки:
15(x − 7) + 24(y − 2) − 12(z − 4) = 0.
15x + 24y − 12z −105 = 0 или, сократив на 3, получаем:
5x + 8y − 4z − 35 = 0.
в) составить уравнение прямой A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).
(x - 3)/(-7) = (y - 3)/(-1) = (z - 1)/0 = 0. Это каноническое уравнение.
Параметрическое уравнение прямой:
x=3-7t
y=3-t
z=1+0t.
5. Назвать и построить кривую: 9x² - 4y² + 54x + 8y + 41 = 0.
Это уравнение гиперболы. Детали и график приведены в приложении.