Доказать, что векторы a(3; −2; −5), b(−2; 1; 3), c(6; 0; −5) образуют базис. Разложить...

Покажем, что тройка векторов линейно независима.

Найдём определитель:

$\begin{vmatrix} 3& -2 & -5 \\ -2 & 1 & 3 \\ 6 & 0 & -5 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 3\end{vmatrix}- 5 \cdot \begin{vmatrix}3 & -2 \\ -2 & 1\end{vmatrix} = -1 \ne 0$ .

Вектор имеет следующее разложение:

$d = \alpha a+ \beta b + \gamma c$ .

Зная координаты векторов, составим систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3\alpha -2\beta + 6\gamma = -1 \\ -2\alpha + \beta \qquad= 3 \\ -5\alpha + 3\beta - 5\gamma = 5\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3\alpha -6 - 4\alpha + 6\gamma = -1 \\ \beta = 3 + 2\alpha \\ -5\alpha + 9 + 6\alpha - 5\gamma = 5\end{cases} \Rightarrow\begin{cases} \gamma = 1 \\ \beta = 3 + 2\alpha \\ \alpha = 5\gamma - 4\end{cases}$

Откуда решением является

$\begin{cases} \alpha = 1 \\ \beta = 5 \\ \gamma = 1\end{cases}$ .

Значит, координаты вектора в данном базисе: $\boxed{(1; 5; 1)}$