Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y=(x+1)^2 та прямою y=4-x

Найдём пересечения этих функций:

$(x+1)^2 = 4 - x \Rightarrow x^2 + 3x - 3 = 0$

$x^2 + 3x - 3 = 0\\x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$

Найдём площадь под графиком параболы и прямой. Площадью фигуры будет модуль их разности.

$\Large \displaystyle S = \Big|\int\limits_{\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}}^{\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}} {(x+1)^2}\,dx - \int\limits_{\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}}^{\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}} {(4 - x)} \, dx\Big| =\Big| \int\limits_{\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}}^{\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}} {(x^2 + 3x - 3)} \, dx \Big|=$

$= \Big|(\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 3x)|^{\frac{-3 + \sqrt{21}}{2}}_{\frac{-3 - \sqrt{21}}{2}}\Big| = \frac{7\sqrt{21}}{2}$