Найдите значение Если известно, что

Question 1

Question 2

У меня через одно и знаки разные

Question 3

Вот это смущает

Question 4

C(0;112) + C(4;112) + C(8;112) + C(112;112) - (C(2;112) + C(6;112)+...+C(110;112))

Question 5

Можно так суммы представить

Question 6

делал так

Question 7

C(n;k) = C(n-k;n) - равенство верно и этим нужно как-то воспользоваться

Question 8

Ещё всяко преобразовывал, получилось 2^(57)*3, но ответ другой

Question 9

попробуете решить?

Question 10

Возведите 1+i в 112 степень двумя способами и отделите вещественную и мнимую части, если не лень возиться.

Question 11

2^(56)/2^(50) = 2^6 = 32

Question 12

$S=C^0_{112}i^0+C^2_{112}i^2+C^4_{112}i^4+...+C^{112}_{112}i^{112}=\displaystyle \underbrace{\sum^{n=112}_{k=0}C^k_n1^{n-k}i^k}_{Binom}=(1+i)^{112}$

Рассмотрим $z=1+i$ и представим это в тригонометрической форме, модуль комплексного числа: $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$z=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})$

Так как sin α > 0 и cos α> 0, то α∈I четверти и α=π/4

$z=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}})=\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})$

По формуле Муавра: $(1+i)^{112}=(\sqrt{2})^{112}\left(\cos\frac{112\pi}{4}+i\sin\frac{112\pi}{4}\right)=2^{56}\left(\cos28\pi+i\sin28\pi\right)=2^{56}$

Окончательно получаем $\dfrac{S}{2^{50}}=\dfrac{2^{56}}{2^{50}}=2^6=64$

Question 13

Извини, с мнимыми числами не так часто работаю, поэтому задал вопрос для уточнения.

Question 14

k=1 тут C(1;112) * i, а вот k=111 слагаемое C(111;112)i^111 = C(1;1112) * (-i)

Question 15

Просто воспользовались равенство C(n;k) = C(n-k;n)

Question 16

Да, да, согласен. Спасибо!

Question 17

не совсем так , у числа i и i^3 разные коэффициенты, поэтому взаимно они уничтожаться не будут , но из формулы Муавра следует, что (i +1 )^112- действительно , а значит сумма всех мнимых чисел в биноме равна нулю , а они как раз стоят на нечетных местах , значит их можно выбросить и сумма от этого не изменится