b = 2a · sin α/2 - третья сторона треугольника, лежащего в основании пирамиды
S = 0.5 a · a · sin α = 0.5a²·sinα - площадь основания
Проекцией бокового ребра на основание является радиус окружности, описанной вокруг основания
R = a · a · b/(4S) = a · a · 2a · sin α/2 : (4 · 0.5a²·sinα) = а/(2cos α/2)
h = √(a² - R²) = √(a² - a²/(4cos² α/2)) = a √(1 - 1/(4cos² α/2)) - высота пирамиды
Объём пирамиды равен V = 1/3 · S · h =
= 1/3 · 0.5a² · sin α · a√(1 - 1/(4cos² α/2)) =
= a³ · 2 sin α/2 · cos α/2 · √(4cos² α/2 - 1) / (6 · 2 cos α/2) =
= a³/6 · sin α/2 · √(4cos² α/2 - 1)