Решить дифференциальное уравнение (подробнее) Пожалуйста, помогите, очень надо.... Плииз)

Ответ:

$\Large \displaystyle y = \ln(1 + x) - 1 + \frac{\ln(1 + x)}{x} + \frac{C_3}{x}$

Пошаговое объяснение:

$y' + \frac{y}{x} = \frac{\ln(1 + x)}{x}\\xy' + y = \ln(1 + x)\\x\frac{dy}{dx} + y = \ln(1 + x)$

По формуле производной произведения:

$xy' + y = (xy)'$ , так как $(x)' = 1$ .

$\frac{d(xy)}{dx} = \ln(1 + x)\\\int {d(xy)} = \int {\ln(1 + x)} \, dx\\xy + C_1= \int {\ln(1 + x)} \, dx$

Интегрируем по частям:

$\int {\ln(1 + x)} \, dx = x\ln(1 + x) - \int {x} \, d(\ln(1 + x)) = x\ln(1 + x) - \int {(1 - \frac{1}{x + 1})} \, dx =\\= x\ln(1 + x) - x + \ln(1 + x) + C_2$

$xy = x\ln(1 + x) - x + \ln(1 + x) + C_3\\y = \ln(1 + x) - 1 + \frac{\ln(1 + x)}{x} + \frac{C_3}{x}$