Реши уравнение с натуральными значениями Букв:a!+b!+c!=d!

$a!+b!+c!=d!$ . Будем считать, что $a\le b\le c.$

1-й случай. $a=b=c.$ Разделив уравнение на $a!$ , получаем $3=(c+1)\cdot \ldots \cdot d\Rightarrow$ в правой части на самом деле один множитель; $c+1=d=3; a=b=c=2.$ Проверка: $2!+2!+2!=3!;\ 2+2+2=6;\ 6=6$ - верно. Итак, одно решение найдено.

2-й случай. $a=b<c$ . Разделив уравнение на $a!$ , получаем $2+(a+1)\cdot \ldots \cdot c=(a+1)\cdot \ldots \cdot d.$ Следовательно, $a+1=2;\ a=1\Rightarrow$ уравнение имеет вид $2+c!=d!$ Но два факториала не могут отличаться на 2, поэтому в этом случае уравнение решений не имеет.

3-й случай. $a<b$ . Разделив уравнение на $a!$ , получаем $1+(a+1)\cdot \ldots \cdot b+(a+1)\cdot \ldots \cdot c=(a+1)\cdot \ldots \cdot d.$ Такое уравнение не может иметь решений, так как все слагаемые, кроме первого, делятся на a+1.

Ответ: a=b=c=2; d=3