Доказать, что если стороны треугольника соответственно a, b и c, то следует неравенство:a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)
Рассмотрим неравенство треугольника для каждой из трех его сторон:
a > |b - c|
b > |a - c|
c > |a - b|
Возведем в квадрат каждое из трех неравенств:
b^2-2bc+c^2\\b^2>a^2-2ac+c^2\\c^2>a^2-2ab+b^2" alt="a^2>b^2-2bc+c^2\\b^2>a^2-2ac+c^2\\c^2>a^2-2ab+b^2" align="absmiddle" class="latex-formula">
Сложим почленно эти неравенства:
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\\\a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)" alt="a^2+b^2+c^2>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\\\\a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Спвсибо большое. У меня вроде бы получилось с преобразованием исходного и одной заменой (a+b-c=положительное p), благодаря чему сумма нескольких аоложительных больше нуля, но ваш способ весьма нагляднее.
Если x,y,z отрезки касательных на которые делит вписанная окружность стороны, то a=x+y, b=x+z, c=y+z
(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2<2((x+y)(x+z)+(x+z)(y+z)+(x+y)(y+z)) где x,y,z>0
Открывая скобки и преобразовывая
xy+yz+zx>0
что верно.