Задание 2) Даны координаты вершин пирамиды:
А(2; 0; -3), В(1; 1; 1), С(4; 6; 6) и Д(-1; 2; 3).
Определяем координаты векторов АВ и АС:
АВ = (-1; 1; 4), АС = (2; 6; 9).
Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов (АВ х АС).
Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Подставив данные, получаем: a1a2a3
-1517-8
.
Находим площадь:
S = (1/2)√((-15)² + 17² + (-8)²) = (1/2)√(225+289+64) =(1/2)√578 = 17√2/2.
Для определения объёма находим вектор АД:
АД = (-3; 2; 6).
Объём равен (1/6) смешанного произведения векторов:
Найденное (АВ х АС) = (-15; 17; -8) и АД = (-3; 2; 6).
V = (1/6)((АВ х АС) х АД) = (1/6)((-15)*(-3) + 17*2 + (-8)*6) =
= (1/6)(45 + 34 - 48) = 31/6.