Ответ:
Пошаговое объяснение:
Базис - линейно независимая система. Так как матрица квадратная, то можно не преобразовывать ее по Гауссу, а просто посчитать детерминант.
![det\left[\begin{array}{ccc}-3&1&7\\9&-1&0\\-2&2&1\end{array}\right] = -3*-1*1 + 7*2*9+1*0*-2 - \\ \\ \\ - 7*-1*-2 - 2*0*-3 - 1 * 1*9 = 3+126-14-9 = 106 \neq 0](https://tex.z-dn.net/?f=det%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D-3%261%267%5C%5C9%26-1%260%5C%5C-2%262%261%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20-3%2A-1%2A1%20%2B%207%2A2%2A9%2B1%2A0%2A-2%20-%20%5C%5C%20%5C%5C%20%5C%5C%20-%207%2A-1%2A-2%20-%202%2A0%2A-3%20-%201%20%2A%201%2A9%20%3D%203%2B126-14-9%20%3D%20106%20%5Cneq%200 "det\left[\begin{array}{ccc}-3&1&7\\9&-1&0\\-2&2&1\end{array}\right] = -3*-1*1 + 7*2*9+1*0*-2 - \\ \\ \\ - 7*-1*-2 - 2*0*-3 - 1 * 1*9 = 3+126-14-9 = 106 \neq 0")
Определитель не равен нулю, значит векторы линейно независимы, потому составляют базис.
Находим координаты вектора в базисе. Для этого нужно составить систему уравнений и записать ее в матрицу, где каждый вектор из базиса - столбик.
![\left[\begin{array}{cccc}-3&9&-2&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\7&0&1&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&7&-13&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\\ \\ =\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&0&106&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right] =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D-3%269%26-2%26%7C%20%5C%202%5C%5C1%26-1%262%26%7C%20%5C%200%5C%5C7%260%261%26%7C%20%5C%202%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%266%264%26%7C%20%5C%202%5C%5C1%26-1%262%26%7C%20%5C%200%5C%5C0%267%26-13%26%7C%20%5C%202%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%266%264%26%7C%20%5C%202%5C%5C1%26-1%262%26%7C%20%5C%200%5C%5C0%261%26-17%26%7C%20%5C%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5C%5C%20%5C%5C%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%266%264%26%7C%20%5C%202%5C%5C1%260%26-15%26%7C%20%5C%200%5C%5C0%261%26-17%26%7C%20%5C%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%260%26106%26%7C%20%5C%202%5C%5C1%260%26-15%26%7C%20%5C%200%5C%5C0%261%26-17%26%7C%20%5C%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D "\left[\begin{array}{cccc}-3&9&-2&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\7&0&1&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&7&-13&| \ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&-1&2&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\\ \\ =\left[\begin{array}{cccc}0&6&4&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0&0&106&| \ 2\\1&0&-15&| \ 0\\0&1&-17&| \ 0\end{array}\right] =")
![=\left[\begin{array}{cccc}0&0&1&| \ 1/53\\1&0&0&| \ 15/53\\0&1&0&| \ 17/53\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcccc%7D0%260%261%26%7C%20%5C%201%2F53%5C%5C1%260%260%26%7C%20%5C%2015%2F53%5C%5C0%261%260%26%7C%20%5C%2017%2F53%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D "=\left[\begin{array}{cccc}0&0&1&| \ 1/53\\1&0&0&| \ 15/53\\0&1&0&| \ 17/53\end{array}\right]")
Итого, координаты вектора [2, 0, -2] в данном базисе будут 