При каких значениях параметра a уравнение x^2-9/x-a=0,имеет единственное решение?

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Уравнение $x^2 - \frac{9}{x} - a = 0$

ОДЗ: $x \neq 0$ - в этой точке функция не определена, т.е. имеет разрыв.

Проведем исследование с помощью производной
$y' = (x^2 - \frac{9}{x} - a)' = 2x + \frac{9}{x^2}$

Найдем критические точки
$2x + \frac{9}{x^2} = 0 \\ \\ 2x^3 + 9 = 0 \\ \\ x = - \sqrt[3]{ \frac{9}{2} } \approx -1,65$
Исследуем знак производной слева и справа от критических точек (-1,65) и (0)
$y'(-3) = 2 * (-3) + \frac{9}{(-3)^2} = -5 \ \textless \ 0 \\ \\ y'(-1) = 2 * (-1) + \frac{9}{(-1)^2} = 7 \ \textgreater \ 0$

Производная меняет знак с "-" на "+" следовательно, в этой точке $x = - \sqrt[3]{ \frac{9}{2} }$ функция достигает минимума.

$y'(1) = 2 * 1 + \frac{9}{1^2} = 11 \ \textgreater \ 0$
На интервале $(0; + \infty )$ функция возрастает, следовательно на этом интервале всегда будет единственное решение уравнения.

Следовательно необходимо подобрать такой параметр "а", при котором на интервале $(- \infty ; 0)$ уравнение не имело бы решения. Иначе уравнение будет иметь более одного решения.

Определим при каком значении параметра "а" уравнение будет иметь касание с осью ОХ.
Для этого подставим в уравнение значение $x = - \sqrt[3]{ \frac{9}{2} }$

$(- \sqrt[3]{ \frac{9}{2}})^2 - \frac{9}{- \sqrt[3]{ \frac{9}{2}}} - a = 0$

$(- \sqrt[3]{ \frac{9}{2}})^2*\sqrt[3]{ \frac{9}{2}} + 9 - a* \sqrt[3]{ \frac{9}{2}} = 0$

$\frac{9}{2} + 9 = a* \sqrt[3]{ \frac{9}{2}}$

$a = \frac{13,5}{ \sqrt[3]{4,5} } = 3 \sqrt[3]{20,25} \ \approx 8,177$

Таким образом, если параметр будет $a \ \textless \ \frac{13,5}{ \sqrt[3]{4,5} } \approx 8,177$ , то уравнение будет иметь единственное решение.

Это можно также проверить графически, если при а=8 < 8,177 построить график функции $y = x^2 - \frac{9}{x} - 8$ . Смотри рисунок ниже.

Ответ: при параметре
$a \ \textless \ 3 \sqrt[3]{20,25} \approx 8,177$
уравнение имеет единственное решение.

Проверка: пусть а =0
$x^2-9/x-0=0$
$x^2-9/x=0$
$x^3-9=0 \\ x^3=9$
$x= \sqrt[3]{9}$ - единственный корень.

!!! Если нужно получить зависимость "Х" (корня) от параметра "а" , то можно воспользоваться формулой Кардано, для неполного кубического уравнения.

Вывод писать не буду, но ответ напишу
$x = \sqrt[3]{ \frac{9}{2} + \sqrt{( \frac{-a}{3} )^3+(\frac{9}{2})^2}} + \sqrt[3]{ \frac{9}{2} - \sqrt{( \frac{-a}{3} )^3+(\frac{9}{2})^2}}$

Например, пусть а = 0, тогда
$x = \sqrt[3]{ \frac{9}{2} + \sqrt{( \frac{0}{3} )^3+(\frac{9}{2})^2}} + \sqrt[3]{ \frac{9}{2} - \sqrt{( \frac{0}{3} )^3+(\frac{9}{2})^2}} = \\ \\ = \sqrt[3]{ \frac{9}{2} + \sqrt{(\frac{9}{2})^2}} + \sqrt[3]{ \frac{9}{2} - \sqrt{(\frac{9}{2})^2}} = \\ \\ = \sqrt[3]{ \frac{9}{2} + \frac{9}{2}} + 0 = \sqrt[3]{9}$

Vladislav006_zn (62.7k баллов) 15 Март, 18