Существуют ли различные простые числа m, n такие что m!+m делится на n!+n?
Ответ: нет, не существуют.
Решение:
Представим, что такие числа и существуют!
В числах и вынесем общий множитель за скобки и получим и . И понятно, что n" alt="m>n" align="absmiddle" class="latex-formula">. И первое из этих чисел должно делиться на второе. Но - простое и делиться ни на что из этого не может.
Тогда делится на . Из чего делаем вывод, что - число-факториал.
Но (если простое натуральное). И указанное число факториалом быть не может.
Но тогда такие простые числа и не существуют!