Sin 2x

Пошаговое объяснение:

1) Раскроем синус двойного угла:

$\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^{2}(x)}$

2) Сведём неравенство к квадратному.

$\frac{2\tan(x)}{1+\tan^{2}(x)}<-\frac{1}{2}$

$2\tan(x)<-\frac{1+\tan^{2}(x)}{2}$

$4\tan(x)<-1-\tan^{2}(x)$

$\tan^{2}(x)+4\tan(x)+1<0$

3) Сделаем замену $\tan(x)=t$ и найдём корни получившегося уравнения.

$t_{1}=\frac{-4-\sqrt{16-4}}{2}=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$

$t_{2}=\frac{-4+\sqrt{16-4}}{2}=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}-2$

4) Разложим квадратный трёхчлен на множители.

$(t+2+\sqrt{3})(t-\sqrt{3}+2)<0$

5) Решим первое неравенство:

$\tan(x)<-2-\sqrt{3}$

$x \in (-\frac{\pi}{2}+\pi n;\arctan(-2-\sqrt{3})+\pi n), n \in \mathbb{Z}$

6) Решим второе неравенство:

$\tan(x)<\sqrt{3}-2$

$x \in (-\frac{\pi}{2}+\pi n;\arctan(\sqrt{3}-2)+\pi n), n \in \mathbb{Z}$

Общим решением будет объединение этих двух решений.