Даны вершины треугольной пирамиды
A(-4;-7,8), B(-1,10;-2), C(-3;-6,7), D(-6;1,7).
1) Длина ребра AD = √(-6-(-4))² + (1 - (-7))² + (7 - 8)²) = √(4 + 64 + 1) = √69.
2) Объем пирамиды ABCD.
Определяем координаты векторов АВ и АС:
АВ = (3; 17; -10), АС = (1; 1; -1). Векторное произведение (АВ х АС) равно:
x y z x y = -17x - 10y + 3z + 3y + 10x - 17z =
3 17 -10 3 17 = - 7x - 7y - 14z = (-7; -7; -14).
1 1 -1 1 1 =
Определяем координаты вектора АД = (-2; 8; -1).
Смешанное произведение (АВ х АС) х АД = -7*(-2) - 7*8 - 14*(-1) = 14 -56 + 14 = -28. Объём пирамиды равен V = (1/6)*|-28| = 28/6 = 14/3 куб.ед.
3) Угол α между ребрами AC и AD через скалярное произведение векторов.
АС = (1; 1; -1), |АС| = √3. АД = (-2; 8; -1), |АД| = √(4 + 64 + 1) = √69.
cos α = (1*(-2)+1*8+(-1)*(-1))/(√3*√69) = 7/(3√23) ≈ 0,486534.
α = arc cos 0,486534 = 1,062679 радиан = 60,887 градуса.
4) Уравнение плоскости BCD.
Для составления уравнения плоскости используем формулу по трём точкам с использованием матрицы:
x - xВy - yВz - zВ
xС - xВyС - yВzС - zВ
xД - xВyД - yВzД - zВ = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - (-1)y - 10z - (-2)
(-3) - (-1)(-6) - 107 - (-2)
(-6) - (-1)1 - 107 - (-2) = 0
x - (-1)y - 10z - (-2)
-2 -16 9
-5 -9 9 = 0
x - (-1) -16·9-9·(-9) - y - 10 (-2)·9-9·(-5) + z - (-2) (-2)·(-9)-(-16)·(-5) = 0
(-63) x - (-1) + (-27) y - 10 + (-62) z - (-2) = 0
- 63x - 27y - 62z + 83 = 0.
5) Уравнение прямой AC: (x + 4)/1 = (y + 7)/1= (z - 8)/-1.
6) Острый угол φ между ребром AD и гранью ABC.
Уравнение прямой AД: (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1.
Уравнение плоскости AВС:
x+4 y+7 z-8
3 17 -10
1 1 -1 = 0
(x+4)(17(-1)-1(-10)) - (y+7)(3(-1)-1(-10)) + (z-8)(3*1-1*17) = -7x - 7y - 14z + 35 = 0
Упростим выражение: -x - y - 2z + 5 = 0
Найдем угол между прямой (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1 и плоскостью
- x - y - 2z + 5 = 0.
Направляющий вектор прямой имеет вид: s = -2; 8; -1
Вектор нормали плоскости имеет вид: q = -1; -1; -2.
Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:
sin φ = |cos ψ| = | s · q |/| s |·| q | =
= | sx · qx + sy · qy + sz · qz | √(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²) =
= | (-1) · (-2) + (-1) · 8 + (-2) · (-1) | /(√((-1)² + (-1)² + (-2)²) · √((-2)² + 8² + (-1)²)) =
= | 2 - 8 + 2 |/(√(1 + 1 + 4)· √(4 + 64 + 1)) = 4/(√6 · √69) =
= 4 /√414 = 2√46/ 69 ≈ 0,196589.
φ = 11,33758°
7) Уравнение высоты , опущенной из вершины D( -6; 1; 7) на грань ABC.
Прямая, проходящая через точку Д(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C)
Уравнение плоскости AВС: -x - y - 2z + 5 = 0.
(x - xo)/A = (y - yo)/B = (z - zo)/C. Подставим данные в формулу и получим уравнение высоты ДО:
(x +6)/-1 = (y - 1)/-1 = (z - 7)/-2.