![\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2;\ \sqrt[4]{x+8}=a;\ \sqrt[4]{x-8}=b;\ \left \{ {a-b=2} \atop {a^4-b^4=16}} \right.;\ \left \{ {{a-b=2} \atop {(a^2-b^2)(a^2+b^2)=16}} \right.;](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%2B8%7D-%5Csqrt%5B4%5D%7Bx-8%7D%3D2%3B%5C%20%5Csqrt%5B4%5D%7Bx%2B8%7D%3Da%3B%5C%20%5Csqrt%5B4%5D%7Bx-8%7D%3Db%3B%5C%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7Ba-b%3D2%7D%20%5Catop%20%7Ba%5E4-b%5E4%3D16%7D%7D%20%5Cright.%3B%5C%20%5Cleft%20%5C%7B%20%7B%7Ba-b%3D2%7D%20%5Catop%20%7B%28a%5E2-b%5E2%29%28a%5E2%2Bb%5E2%29%3D16%7D%7D%20%5Cright.%3B "\sqrt[4]{x+8}-\sqrt[4]{x-8}=2;\ \sqrt[4]{x+8}=a;\ \sqrt[4]{x-8}=b;\ \left \{ {a-b=2} \atop {a^4-b^4=16}} \right.;\ \left \{ {{a-b=2} \atop {(a^2-b^2)(a^2+b^2)=16}} \right.;")
Решим второе уравнение. Замена b+1=c; ![c(c^2+1)=2;\ c^3+c-2=0;\ (c^3-1)+(c-1)=0;\ (c-1)(c^2+c+1)+(c-1)=0;\](https://tex.z-dn.net/?f=c%28c%5E2%2B1%29%3D2%3B%5C%20c%5E3%2Bc-2%3D0%3B%5C%20%28c%5E3-1%29%2B%28c-1%29%3D0%3B%5C%20%28c-1%29%28c%5E2%2Bc%2B1%29%2B%28c-1%29%3D0%3B%5C "c(c^2+1)=2;\ c^3+c-2=0;\ (c^3-1)+(c-1)=0;\ (c-1)(c^2+c+1)+(c-1)=0;\")
Поскольку дискриминант квадратного трехчлена во второй скобке отрицателен, эта скобка в ноль не обращается. Поэтому единственное решение c=1; b=0; x=8.
Проверка: 2-0=0 - верно.
Ответ: 8
Замечание. Можно было кубическое уравнение относительно c не решать, а угадать c=1, после чего сослаться на монотонность левой части.