Даны точка Р (1; -1; -2), плоскость П: x - 2y + 3z - 1 = 0 и прямая
L: (x - 4)/2 = y/5 = (z + 1)/(-2).
Запишем уравнение плоскости П1, которая проходит через точку Р(1,−1,−2) параллельно плоскости П : x−2y+3z−1=0:
Нормальный вектор плоскости П равен (1; -2; 3).
Уравнение П1:
1(x - 1) -2(y + 1) + 3(z + 2) = x - 1 -2y - 2 + 3z + 6 = x - 2y + 3z + 3 = 0.
Далее найдем точку пересечения плоскости П1 и прямой L. Для этого запишем уравнение прямой L в параметрической форме:
x = 2t + 4, y = 5t, z = -2t - 1 и подставим в уравнение П1: x - 2y + 3z + 3 = 0.
2t + 4 - 10t -6t - 3 + 3 = 0,
-14t + 4 = 0, t = 4/14 = 2/7.
Подставляя найденное значение t в уравнение прямой L, найдем координаты точки пересечения: x = 2t + 4, y = 5t, z = -2t - 1
x = (4/7) + 4 = 32/7, y = 10/7, z = (-4/7) - 1 = -11/7.
Таким образом, прямая L и плоскость П1 пересекаются в точке M((32/7); (10/7); (-11/7)).
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки Р (1; -1; -2) и M((32/7); (10/7); (-11/7)): это и будет искомая прямая.
(x - 1)/((32/7-1) = (y + 1)/((10/7)+1) = (z + 2)/((-11/7)+2),
(x - 1)/(25/7) = (y + 1)/(17/7) = (z + 2)/(3/7).