Ответ:
a) x₁ = 2πk; x₂ = π/6 + πk; x₃ = - π/6 + πk (k∈Z)
б) х = -7π/6; -5π/6; -π/6; 0; π/6; 5π/6; π; 7π/6; 11π/6;
Пошаговое объяснение:
а) 2sin (x/2) · cos 2x = sin (x/2)
2sin (x/2) · cos 2x - sin (x/2) = 0
sin (x/2) · (2cos 2x - 1) = 0
1) sin (x/2) = 0; 2) cos 2x = 1/2
x/2 = πk (k∈Z); 2x = +- π/3 + 2πk (k∈Z)
x₁ = 2πk; x₂ = π/6 + πk; x₃ = - π/6 + πk (k∈Z)
б) Корни на промежутке [-3π/2; 2π]
1) исследуем x₁ = 2πk;
2πk = -3π/2; 2k = -3/2; k = -3/4;
2πk = 2π; k = 1;
В промежутке k [- 3/4; 1] находим целые значения k = 0 и k = 1
Поэтому для х₁ имеем следующие решения в заданном промежутке
х = 0; π.
2) Исследуем x₂ = π/6 + πk
π/6 + πk = -3π/2; k = -3/2 - 1/6; k = -1 2/3
π/6 + πk = 2π; k = 2 - 1/6; k = 1 5/6
В промежутке k [- 1 2/3; 1 5/6] находим целые значения
k = -1, k = 0 и k = 1
Поэтому для х₂ имеем следующие решения в заданном промежутке
x = -5π/6; π/6; 7π/6.
3) Исследуем x₃ = - π/6 + πk
-π/6 + πk = -3π/2; k = -3/2 + 1/6; k = -1 1/3
-π/6 + πk = 2π; k = 2 + 1/6; k = 2 1/6
В промежутке k [- 1 1/3; 2 1/6] находим целые значения
k = -1, k = 0, k = 1 и k = 2
Поэтому для х₂ имеем следующие решения в заданном промежутке
x = -7π/6; -π/6; 5π/6; 11π/6
Выписываем все решения по возрастающей
х = -7π/6; -5π/6; -π/6; 0; π/6; 5π/6; π; 7π/6; 11π/6;