Даны четыре точки А1 (6, 1, 1), А2 (4, 6, 6), А3 (4, 2, 0) и А4 (1, 2, 6).
а) Уравнение плоскости А1, А2, А3 находим на основе смешанного произведения векторов.
x-6 y-1 z-1 x-6 y-1 x-6 y-1 z-1 x-6 y-1
4-6 6-1 6-1 4-6 6-1 -2 5 5 -2 5
4-6 2-1 0-1 4-6 2-1 = -2 1 -1 -2 1 =
= (x - 6)*((-5) -5) + (y - 1)*(-10-2) + (z - 1)*(-2 + 10) =
= -10x - 12y + 8z + 64 = 0. Сократим на -2:
Уравнение плоскости А1А2А3 равно 5x + 6y - 4z - 32 = 0.
б) Уравнение прямой А1, А2: (x - 6)/(-2) = (y - 1)/5 = (z - 1)/5.
в) Прямой А4, М, перпендикулярной к плоскости А1, А2, А3.
Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4) - это направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.
Получаем уравнение прямой А4М: (x -1)/5 = (y - 2)/6 = (z - 6)/(-4).
г) Прямой А4, N, параллельной прямой А1, А2.
Вычислить:
д) Синус угла между прямой А1, А4 и плоскостью А1, А2, А3.
Вектор А1А4:(-5; 1; 5), его модуль равен √(25+1+25) = √51.
Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √(25+36+16) = √77. Скалярное произведение равно -25+6-20 = -39.
sin fi = |-39|/(√51*√77)= 0,62234923
fi =0,67174радиан, 38,4879градус.
ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оxy и плоскостью А1, А2, А3.
Нормальный вектор координатной плоскости Оxy равен (0; 0; 1), его модуль равен 1. Нормальный вектор плоскости А1А2А3 (5; 6; - 4), его модуль равен √77.
cos a = |0*5+0*6+1*(-4)|/(1*√77) = 4/√77 ≈ 0,455842.