Найти высоту параллелограмма ABCD A(2;3;-1), B(3;1;1), C(-3;0;1), D(-1;1;1), опущенную из...

Question

Найти высоту параллелограмма ABCD A(2;3;-1), B(3;1;1), C(-3;0;1), D(-1;1;1), опущенную из вершины С

Answer 1

Ответ:

√(21/17)

Пошаговое объяснение:

Из вершины С высота попадёт на прямую AD. Следовательно, искомая высота равна расстоянию от точки С до прямой AD. Найдём его.

Уравнение прямой AD составляем по двум точкам А и D:

(х - 2)/(-3) = (y - 3)/(-2) = (z + 1)/2

Направляющий вектор этой прямой Р = (-3; -2; 2) имеет длину (модуль) √(-3)² + (-2)² + 2² = √17.

Возьмём произвольную точку на прямой AD. Удобно взять М (2; 3; -1), координаты обращают уравнение в нуль. Точка С по условию имеет координаты (-3; 0; 1).

Тогда вектор СМ = (5; 3; -2). Найдём векторное произведение этого вектора на направляющий вектор прямой AD:

| i     j     k |

| 5    3    -2 |

|-3   -2     2 |

PxCM = 2i - 4j - k = √2² + (-4)² + (-1)² = √21.

Окончательно расстояние от точки С до прямой AD (оно же - искомая высота) равно √21 : √17 = √(21/17)

Comments

Подскажите, а зачем мы берём произвольную точку? Нельзя взять направляющий вектор dc, умножить его на p и полученное поделить на модуль p?

---

Можно. Но с точкой - классический алгоритм.

---

Можно и через уравнение прямой: через скалярное произведение найти уравнение этой высоты, а потом взять на ней нужный отрезок. Путей тут много, тот, что я привёл, - классика аналитики. Только проверьте расчёты, ибо поздней ночью мог что-нибудь просмотреть.