Николай Георгиевич Доможаков родился 20 января 1916 года в с. Хызыл-Хас Усть-Абаканского района Хакасии. Начальное образование получил в Райковской трёхклассной школе. C 1931 по 1935 год – учёба в Хакасском педагогическом училище, по окончании которого, с 1935 по 1938 год Николай Георгиевич работал сельским учителем, затем – инспектором областного отдела народного образования, участвовал в составлении учебников для хакасских школ, первый из которых – “Грамматика хакасского языка” вышел в 1936 году.
В начале 1938 года Николай Доможаков принимал участие в создании Областного педагогического кабинета (впоследствии – Институт усовершенствования учителей). Одновременно Николай Георгиевич преподавал в техникуме хакасский язык.
В 1939 году Николай Георгиевич поступил на историко-филологическое отделение Абаканского учительского института, который окончил с красным дипломом. В 1941 году, в первые дни войны, Н. Доможаков пишет заявление о вступлении в действующую армию, но по состоянию здоровья его не берут на фронт. Осенью 1941 года он поступает в аспирантуру Института языка и письменности народов СССР Всесоюзной академии наук в Москве. По ночам он вместе с сотрудниками института дежурит на крышах и сбрасывает фугасные бомбы. По возвращении коллектива института из эвакуации его назначают секретарем партийной организации. Н.Г. Доможаков – один из создателей Хакасского научно-исследовательского института языка, литературы и истории, который возглавлял с 1944 по 1955 год. Доможаков является автором ряда фундаментальных трудов по хакасскому языку, учебников и учебных пособий для учащихся хакасских школ.
В 1949 году он успешно защитил кандидатскую диссертацию «Кызыльский диалект хакасского языка». Н.Г. Доможаков на протяжении всей жизни преподавал в Абаканском педагогическом институте. Среди его учеников – известные в Хакасии деятели науки: В.Г. Карпов, Н.Н. Межекова, С.П. Ултургашев и др.
С 1948 года Н.Г. Доможаков – член Союза писателей СССР. Благодаря заботам и ходатайству Николая Георгиевича, в 1949 году была создана писательская организация Хакасии, которую Доможаков возглавлял с 1949 по 1963 год.
Первые стихи Н. Доможакова появились в печати в 1935 году. Но прославился писатель в жанре прозы. Результатом и вершиной этой работы явился первый хакасский роман «В далёком аале» (1960). Всесоюзную известность роман получил в 1970 г., когда был переведён на русский язык и выпущен издательством «Художественная литература». Роман неоднократно переиздавался, в 1970-е годы общий тираж романа составил более 2 млн. экземпляров. Творческое наследие писателя – проза и стихи – были переведены на украинский, киргизский, тувинский, латышский, монгольский, турецкий и др. языки. По роману в 1977 году Свердловской киностудией снят художественный фильм «Последний год Беркута». Писатель, ученый, педагог, Н.Г. Доможаков внёс большой вклад в развитие хакасской национальной культуры, за что и был награжден орденом Трудового Красного Знамени.
Н.Г. Доможаков умер 16 ноября 1976 года