Сатиры в рассказе нет.
В случае с этим чеховским рассказом правильнее
использовать понятие-"комический рассказ".
Комический рассказ - это такой художественный прием,
когда писатель использует несоответствие
между внешними проявлениями чего-то и
внутренней сущностью.
Несоответствие - это один из способов
юмористического повествования.
несоответствия в рассказе "Лошадиная фамилия"
(генерал - боится; генерал - необразованный;
генерал - кукиш показывает, как мальчишка;
зуб болит - лечит по телефону;
лошадиная фамилия - Овсов)
Подробное описание в рассказе заменено
"говорящей" деталью.
Смешны сами "лошадиные фамилии",
а их в рассказе около пятидесяти.
Обратите внимание на речь героев.
("Теперь только зубами и кормится",
" живет не с женой, а с немкой",
"сила ему такая дадена",
"Жеребцов нешто? " и др.)
Рассказ держится на живой речи, разговоре
действующих лиц. Преобладает диалог.
Своей речью (интонацией, лексикой, оборотами речи,
паузами) персонажи выдают свою социальную
принадлежность и свой характер)
Яркая, смешная, неожиданная развязка.
В основе сюжета рассказа, как и многих других
чеховских рассказов, лежит анекдот,
короткая занимательная история.