Cos^2x – sin^2x = sinx – cosx

$\sf cos^2x-sin^2x=sinx-cosx \\ (cosx-sinx)(cosx+sinx)+(cosx-sinx)=0 \\ (cosx-sinx)(cosx+sinx+1)=0 \\ \\ cosx-sinx=0 \\ sinx=cosx \\ tgx=1 \\ \boxed{\sf x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k } \\ \\ \\ cosx+sinx+1=0$

Применим универсальную тригонометрическую подстановку

$\sf \dfrac{1-t^2}{1+t^2}+\dfrac{2t}{1+t^2}+1=0 \\ 1-t^2+2t+1+t^2=0 \\ t=-1 \\ \\ tg\left(\dfrac{x}{2} \right)=-1 \\ \dfrac{x}{2}=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\\ \boxed{\sf x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k}$

При этом cos(π)+sin(π)+1=-1+0+1=0, значит нужно добавить решение

$\boxed{\sf x=\pi+2 \pi k}$

Ответ: $\left [ \begin{array}{I} \sf x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k \\ \sf x=\pi+2 \pi k\\ \sf x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k \end{array}; \sf \ k \in \mathbb{Z}$