Как доказать что ((3^4n)-1)/2 кратно 40?

Question

Как доказать что ((3^4n)-1)/2 кратно 40?

Comments

никак , это неправильноn=1/2 4 не кратно 40

---

забыл сказать n принадлежит натуральным

---

задайте вопрос заново или исправьте пока есть время

---

это только ваши проблемы, если вы что то забыли

---

а тебе решить никак?

---

Методом математической индукции: при n=1 это утверждение верно (3^4-1)/2=40. Предполагаем, что наше утверждение при любом n=k (k - натуральное число) и проверяем, будет ли выполняться утверждение при n=k+1. Если будет, то утверждение доказано.

---

спс

---

Я забыл вставить слово "верно" между словами "утверждение при".

---

Сейчас напишу решение.

Answer 1

Как уже было показано в комментарии, при n=1 это утверждение верно. Пусть теперь n=k: положим, что (3^4k-1)/2=40*m, где m - натуральное число. Переходя к n=k+1, получим выражение (3^(4k+4)-1)/2=(81*3^4k-1)/2=(3^4k+80*3^4k-1)/2=(3^4k-1)/2+80*3^4k/2=40*m+40*3^4k=40*(m+3^4k). Так как число 3^4k - натуральное,  то таким будет и число m+3^4k. Обозначив его через n1, получим  (3^(4k+4)-1)/2=40*n1. А это значит, что число  (3^(4k+4)-1)/2 кратно 40. Теперь из верности утверждения при n=1 следует его верность при n=2; из верности при n=2 следует верность при n=3 и.т.д. для всех натуральных чисел. Утверждение доказано.