Логарифм 15 задание.

$\rm log_6(x+2)^2\cdot log_{\frac{1}{2}}x^2-4log_5(x+2)+4log_2(-x)+4\leqslant 0\\ 2log_6|x+2|\cdot \left(-2log|x|\right)-4log_5(x+2)+4log_2(-x)+4\leqslant 0$

ОДЗ: под логарифмические выражения всегда положительны.

0} \atop {-x>0}} \right.~~~\Leftrightarrow~~~\left \{ {{x>-2} \atop {x<0}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~ x \in (-2;0)" alt="\rm \displaystyle \left \{ {{x+2>0} \atop {-x>0}} \right.~~~\Leftrightarrow~~~\left \{ {{x>-2} \atop {x<0}} \right. ~~~~\Rightarrow~~~ x \in (-2;0)" align="absmiddle" class="latex-formula">

Раскроем модуль на промежутке $x \in (-2;0)$

$\rm -4log_5(x+2)log_2(-x)-4log_5(x+2)+4log_2(-x)+4\leqslant 0\\ -4log_5(x+2)\big[\log_2(-x)+1\big]+4\big[\log_2(-x)+1\big]\leqslant0\\ \\ 4\big(\log_2(-x)+1\big)\big(1-\log_5(x+2)\big)\leqslant0$

решим уравнение: $\rm 4\big(\log_2(-x)+1\big)\big(1-\log_5(x+2)\big)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\rm \log_2(-x)+1=0\\ \log_2(-x)=-1\\ \log_2(-x)=\log_20.5~~~\Leftrightarrow~~~ x_1=-0.5\\ \\ 1-log_5(x+2)=0\\ \log_5(x+2)=1\\ \log_5(x+2)=\log_55~~~\Leftrightarrow~~~ x+2=5~~~~\Leftrightarrow~~~ x_2=3$

Ответ: x ∈ [-0.5; 0).