А известно ли, фальшивая монета легче или тяжелее настоящей?
Если известно, без гирь можно за 2 взвешивания найти фальшивую из 9.
Для 25 монет (для любого числа от 10 до 27) потребуется 3 взвешивания.
Или как раз нужно определить, легче она или тяжелее? Это можно.
0 шаг. Откладываем в сторону 1 монету, остальные 24 делим на кучки по 12.
1 шаг. Сравниваем эти кучки.
1 а) Пусть одна кучка легче другой. Тогда берем легкую и делим ее по 6.
2 шаг. Взвешиваем эти две кучки по 6.
Если весы опять не равны, то фальшивая среди этих 12 монет, она легче.
Если же весы равны, то фальшивая среди других 12 монет, она тяжелее.
Но мы только определили вес, больше или меньше, но не нашли монету.
1 б) Пусть две кучки по 12 монет равны друг другу.
Тогда все эти монеты нормальные, а фальшивая - отложенная.
2 шаг. Берем отложенную монету и одну нормальную и взвешиваем.
Узнаем, легче фальшивая или тяжелее.
Кроме того, в этом случае мы еще и найдем эту монету.
Если второе взвешивание опять даст равенство, то нас обманули,
и все монеты правильные, фальшивой нет вообще.
Теперь, допустим, у нас получился случай 1 а) и монета легче настоящей.
Как за 3 взвешивания найти эту монету из 12?
Мы уже знаем, легче она или тяжелее. Пусть будет легче.
0 шаг. Делим 12 монет на кучки по 4.
1 шаг. Взвешиваем 4 и 4.
1 а) Допустим, одна чаша весов легче другой.
Фальшивая монета среди этих 4. Делим их на кучки по 2.
2 шаг. Взвешиваем 2 и 2. Одна чаша легче другой.
3 шаг. Сравниваем две монеты. Какая легче, та и фальшивая.
1 б) Допустим, на 1 шаге две чаши по 4 монеты равны.
Фальшивая среди оставшихся 4.
2 шаг. Взвешиваем 2 и 2. Одна чаша легче другой.
3 шаг. Сравниваем две монеты. Какая легче, та и фальшивая.
ВСЁ!