Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) Диф. уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
(1 + x)ydy - (1 + y)xdx = 0
(1 + x)ydy = (1 + y)xdx
ydy/(1 + y) = xdx/(1 + x)
Интегрируем обе части уравнения
∫ydy/(1 + y) = ∫xdx/(1 + x)
Решим один из интегралов – второй аналогичный. Проинтегрируем по частям.
∫xdx/(1 + x)
Введем замену
u = x, тогда du = dx
dv = dx/(1 + x), тогда v = ln|1 + x|
∫u*dv = u*v - ∫ v*du
∫xdx/(1 + x) = x*ln|1 + x| - ∫ln|1 + x|*dx = x*ln|1 + x| - (x + 1)*ln|1 + x| + (x + 1) + C = ln|1 + x| + (x + 1) + C
Получаем решение
ln|1 + у| + (у + 1) = ln|1 + x| + (x + 1) + C
2) Линейное однородное уравнение второго порядка
Характеристическое уравнение
r^2 – 3r = 0
r1 = 0; r2 = 3 – корни действительные и различные
Общее решение дифференциального уравнения
у0 = С1 + С2е^(3x)
Частное решение найдем из заданных начальных условий
y(0) = 1 y '(0) = -1
y(0) = С1 + С2 = 1
y '(0) = 3С2 = -1
С2 = -1/3
С1 = 4/3
Частное решение
у = 4/3 - (1/3)*е^(3x)