1. Неблизкая — слитно, можно подобрать синоним без не (неблизкая = далёкая). Союз НО не влияет на правописание данного слова.
2. Не счастье — раздельно, т. к. есть противопоставление с союзом а.
3. Не весело — раздельно, т. к. есть отрицательное местоимение ничуть, усиливающее раздельное написание.
4. Нездоровится — слитно, т. к. без не не употребляется.