Дано: y = x⁴ - 8*x²
Исследование:
1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)
2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет
3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= +∞, Y(+∞)= +∞. -
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.
Применим метод подстановки. Z = x². z² + -8*z = 0
Нули функции: x1=-2,83, x2= x3 = 0, x4=2,83
5. Интервалы знакопостоянства.
Положительна: Y(x) ≥0 - X∈(-∞;-2.83]∪[2.83;+∞)
отрицательна: Y(x)≤0 -X∈[-2.83;2.83] .
6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2, 0 - чётные.
Функция чётная: Y(-x) = Y(x)
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x² - 4) = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0
Корни производной - точки экстремумов: x₅=-2, x₆ = 0, x₇ = 2.
8. Локальные экстремумы.
Минимумы (два) при x₅ = x₇ = -2. Ymin(-2) = -16 - ответ,
Максимум (один) при х₆ = 0. Ymax(0) = 0 - ответ
Дополнительно (пригодится)
Точки перегиба в корнях второй производной.
y"(x) = 12*x² - 16 = x² - 4/3
x₈ = -√(4/3) = - 1.15, x₉ = 1.15
График функции и шаблон для описания - в приложении.
