Задание 1
lg³x² = 8lgx
По свойству логарифмов:
logₐbˣ = x · logₐb
Применим на нашем примере:
2 · lg³x = 8 · lgx
Разделим обе части на 2 и перенесём всё влево:
lg³x - 4lgx = 0
Вынесем общий множитель:
lgx · (lg²x - 4) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Составим систему и решим по порядку:
[1] lgx = 0
По свойству логарифмов:
logₐ1 = 0
Применим к нашему примеру:
lgx = lg1
x = 1
[2] lg²x - 4 = 0
lg²x = 4
Возьмём из обеих частей уравнения квадратный корень:
lgx = ±2
Получилась система из двух уравнений. Решим по очереди:
[2.1] lgx = 2
lgx = lg10²
x = 100
[2.2] lgx = -2
lgx = lg10⁻²
x = 10⁻²
x = ¹/₁₀₀
Ответ
¹/₁₀₀ ; 1 ; 100
Задание 2
log₃²x - 4log₃x + 3 = 0
Произведём замену log₃x = t, t ≠ 0:
t² - 4t + 3 = 0
D = b² - 4ac = 16 - 12 = 4 = 2²
t₁₂ = (4 ± 2)/2 = 3; 1
Произведём обратную замену:
log₃x = 3
log₃x = log₃3³
x = 27
log₃x = 1
log₃x = log₃3
x = 3
Ответ
3; 27