Чужому - прилагательное, так как
1. Счастью (какому?) чужому - признак предмета
2. Начальная форма - чужой, относительное, средний род, единственное число, Дательный падеж.
3. Прилагательное.
Сохнет - глагол, так как
1. Завистливый (что делает?) сохнет - действие предмета
2. Н. Ф. сохнуть, 1-ое спряжение, непереходный, несовершенный вид, изъявительное наклонение, единственное число, настоящее время, 3-е лицо.
3. Глагол