Ответ:
Теорема Пифагора:
c² = a² + b²
Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
(см. рисунок)
1. AD = AB - DB = 13 - 3 = 10
По свойству пропорциональных отрезков должно выполняться равенство:
CD² = AD · DB
16 = 10 · 3
16 = 30 - неверно
Значит, ошибка в данных длинах отрезков.
Если CD = 4 и DB = 3, то
AD = CD² / DB = 16/3
По теореме Пифагора:
Но тогда АВ = AD + DB = 16/3 + 3 = 25/3, а не 13, как дано по условию.
2. ΔDBC:
BC = 2BD = 2 · 4 = 8 по свойству катета, лежащего напротив угла в 30°,
По теореме Пифагора:
x = √(BC² - BD²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3
BC² = AB · BD, ⇒
AB = BC² / BD = 64 / 4 = 16
Из ΔАВС по теореме Пифагора
y = √(AB² - BC²) = √(256 - 64) = √192 = 8√3
3. ABCD - ромб, значит его диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей О.
АО = АС/2 = 4
ВО = BD/2 = 3
Из ΔАОВ по теореме Пифагора:
x = √(AO² + BO²) = √(16 + 9) = √25 = 5
4. ΔABE: ∠AEB = 90°, ∠ABE = 45°, ⇒ ∠BAE = 90° - 45° = 45°,
значит треугольник равнобедренный, BE = AE = 5,
по теореме Пифагора
AB = √(AE² + BE²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2
Противолежащие стороны параллелограмма равны, ⇒
x = AB = 5√2
5. Все стороны квадрата равны. ВС = АВ = а.
Из треугольника АВС по теореме Пифагора:
x = √(AB² + BC²) = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2
6. По теореме Пифагора
AB = √(AC² + BC²) = √(225 + 400) = √625 = 25
По свойству пропорциональных отрезков:
CB² = AB · y
y = CB² / AB = 400 / 25 = 16
AD = AB - y = 25 - 16 = 9
x² = AD · y = 9 · 16
x = √(9 · 16) = 3 · 4 = 12
7. AK² = 64
AM² + MK² = 36 + 16 = 52
AK² ≠ AM² + MK², значит по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник не прямоугольный.
Пусть DK = a, тогда AD = 8 - a.
Из ΔAMD по теореме Пифагора:
x² = AM² - AD²
x² = 36 - (8 - a)² = 36 - 64 + 16a - a² = - 28 + 16a - a² (1)
Из ΔMDK по теореме Пифагора:
x² = MK² - DK²
x² = 16 - a² (2)
Приравняем (1) и (2):
- 28 + 16a - a² = 16 - a²
16a = 44
a = 11/4
Подставим в (2):
8. CD = √(AD · DB) = √(24 · 54) = √(4 · 6 · 6 · 9) = 2 · 6 · 3 = 36
ΔADC: по теореме Пифагора
x = √(AD² + CD²) = √(576 + 1296) = √1872 = 12√13
ΔBCD: по теореме Пифагора
y = √(CD² + BD²) = √(1296 + 2916) = √4212 = 18√13
9. AD - медиана, значит DC = BD = 3, BC = 2BD = 6.
ΔADC: по теореме Пифагора
AC = √(AD² - DC²) = √(25 - 9) = √16 = 4
ΔABC: по теореме Пифагора
x = √(BC² + AC²) = √(36 + 16) = √(52) = 2√13
10. По свойству пропорциональных отрезков
x² = AB · BD = 5AB (1)
Из ΔАВС по теореме Пифагора
x² = AB² - AC²
Подставим (1):
5AB = AB² - 36
AB² - 5AB - 36 = 0
D = 25 + 144 = 169
AB = (5 + 13)/2 = 9
AB = (5 - 13)/2 = - 4 - не подходит по смыслу задачи.
x² = 5 · 9 = 45
x = 3√5
11. AC² = AB · AD, ⇒ AB = AC² / AD = 36 / 2 = 18
ΔABC: по теореме Пифагора
x = √(AB² - AC²) = √(324 - 36) = √288 = 12√2
12. Проведем высоту СК. ЕВСК - прямоугольник (все углы прямые), значит ЕК = ВС = 5.
ΔABE = ΔDСK по катету и гипотенузе (ВЕ = СК как высоты, АВ = CD по условию), ⇒
АЕ = KD = (AD - EK) / 2 = (9 - 5)/2 = 2
ΔABE: по теореме Пифагора
x = √(AB² - AE²) = √(36 - 4) = √32 = 4√2
