Доказать, что..... Sec^4(t)+cosec^4(t)>= (больше или равно) 8Sec=1/cost ; cosec=1/sint

Question

Доказать, что..... Sec^4(t)+cosec^4(t)>= (больше или равно) 8Sec=1/cost ; cosec=1/sint

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обозначим  х=sin^2(t)  y=cos^2(t)

x+y=1

(1/x)^2+(1/y^2)>=8

-------------------

x^2+y^2>=8(xy)^2

1-2xy>=8(xy)^2

1>=2xy*(1+4xy)

но по теореме о среднеарифметическом и среднем геометрическом   sqrt(xy)<=1/2</p>

xy<=1/4</p>

Значит выражение справа меньше либо равно 2*(1/4)*2=1, что и требуется.

Comments

А можно и без среднеарифметического (хотя это и красиво), написав ху=0,25*sin^2(2t), что, очевидно, меньше или равно 1/4