ДАНО: y(x) = x^3 -6*x² + 9*x -3.
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) = R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая
2. Пересечение с осью OХ.
Используем теорему Виета.
Разложим многочлен на множители. Y=(x-0,47)*(x-1,65)*(x-3,88)
Нули функции: Х₁ =0,47, Х₂ =1,65, Х₃ =3,88
3. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;0,47]U[1,65;3,88] Положительная -Y(x)>0 X∈[0,47;1,65]U[3,88;+∞)
4. Пересечение с осью OY. Y(0) = -3
5. Исследование на чётность.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная - общего вида.
6. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -12*x + 9 = 0
Корни Y'(x)=0. Х4=1 Х5=3
Положительная парабола - отрицательная между корнями
7. Локальные экстремумы.
Максимум Ymax(X4=1) =1. Минимум Ymin(X5=3) =-3
8. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;1;]U[3;+∞) , убывает - Х∈[1;3]
9. Вторая производная - Y"(x) = 6* x -12 = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=2
10. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆=2]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆=2; +∞).
11. График в приложении.
