В начале найдем ОДЗ неравенства
Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства:
Для нахождения ОДЗ разложим квадратный трехчлен х² + 7x + 12 на множители
решив уравнение
х² + 7x + 12 = 0
D = 7² - 4*12*1 = 49 - 48 = 1
x₁ = (-7 - 1)/2 = -8/2 = -4
x₂ = (-7 + 1)/2 = -6/2 = -3
Следовательно можно записать что
х² + 7x + 12 = (х + 3)(х + 4)
Еще раз запишем систему для нахождения ОДЗ
Решаем ее
Первое неравенство решим по методу интервалов
x(x + 6) ≤ 0
Определяем точки где множители меняют свой знак
х = 0 х + 6 = 0 <=> x = -6
На числовой прямой отображаем эти точки и по методу подстановки определяем знак в левой части
неравенства. Например при х=1 х(х + 6) > 0
+ 0 - 0 +
-------------|---------------|--------
-6 0
Поэтому решением неравенства x(x+6)<=0 будут являтся все значения х ∈[-6;0]</p>
Учитывая что х ≠ -4 и х ≠ -3 запишем область ОДЗ х∈[-6;-4)U(-4;-3)U(-3;0]
Основное решение.
Считаем, что значение квадратного корня в ОДЗ всегда больше нуля.
Следовательно достаточно найти решение неравенства
Используем предыдущее разложение квадратного трехчлена в знаменателе второй дроби
В числителе разность двух квадратов запишем как произведение суммы на разность
а²2 - b²= (a - b)(a + b)
Решаем неравенство по методу интервалов
Точки где числитель и знаменатель меняют свой знак
х = -5 х = -4
На числовой прямой отображаем эти точки и по методу подстановки определяем знак в левой части
неравенства. Например при х=1 (х+5)/(х+4)>0
+ 0 - +
-------------|---------------0--------
-5 4
Решение данного неравенства являются все значения x∈(-∞;-5]U(-4;+∞)
Учитывая область ОДЗ окончательно можно записать, что решением исходного
неравенства являются все значения х∈[-6;-5]U(-4;-3)U(-3;0]
Ответ: х∈[-6;-5]U(-4;-3)U(-3;0]