7.Рассмотрим треугольники ABC и AlBlC1, у которых АВ=А1В1, BC = BlC1 СА=С1А1. Докажем, что ΔАВС =ΔA1B1C1.
Приложим треугольник ABC (либо симметричный ему) к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A1, вершина В — с вершиной В1, а вершины С и С1, оказались по разные стороны от прямой А1В1. Рассмотрим 3 случая:
1) Луч С1С проходит внутри угла А1С1В1. Так как по условию теоремы стороны АС и A1C1, ВС и В1С1 равны, то треугольники A1C1C и В1С1С — равнобедренные. По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠ACB=∠A1C1B1.
2) Луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла. A лежит на CC1. AC=A1C1, BC=B1C1, C1BC – равнобедренный, ∠ACB=∠A1C1B1.
3) Луч C1C проходит вне угла А1С1В1. AC=A1C1, BC=B1C1, значит, ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A1C1B1.
Итак, AC=A1C1, BC=B1C1, ∠C=∠C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по
первому признаку равенства треугольников.
8.Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий средины двух его сторон.
ТЕОРЕМА: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть дан Δ АВС и его средняя линия ЕД.
Проведем прямую параллельную стороне АВ через точку Д. По теореме Фалеса она пересекает отрезок АС в его середине, т. е. совпадает с ДЕ. Значит, средняя линия параллельна АВ.
Проведем теперь среднюю линию ДФ. Она параллельна стороне АС. Четырехугольник АЕДФ – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕД=АФ, а так как АФ=ФВ по теореме Фалеса, то ЕД = ? АВ. Теорема доказана.
_______________________________________________________
где написано Д и Ф пиши по английски
9.Обозначим
буквой О точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1 треугольника АВС и проведём
среднюю линию А1В1 этого треугольника (рис. 1). Отрезок А1В1 параллелен стороне
АВ (по теореме о средней линии треугольника) , поэтому 1= 2 и 3= 4.
Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ подобны по двум углам, и, значит их
стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А1О, ВО и В1О, АВ и
А1В. Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения
медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении2:1, считая от вершины. Теорема доказана.
10.Треугольник АВС , угол С - 90
Перпендикуляр СД на АВ (гипотенуза)
Треугольник АВС подобен треугольнику АСД по общему углу А (если в прямоугольном теругольнике острый угол одного равен осторому углу другого то треугольники подобны )
Треугольник АВС подобен треугольнику СДВ по общему углу В
Если два треугольника подобны между содой то третий им подобен.
11.Утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике:
1.Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла
Доказательство:
Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному.Это подобие вытекает из равенства углов:
Тогда:
1. Из подобия треугольников АВН и ВСН имеем:
АН/ВН=ВН/НС или ВН²=АН*НС, что и требовалось доказать.
2. Из подобия треугольников АВН и АВС имеем:
АН/АВ=АВ/АС или АВ²=АН*АС.
Из подобия треугольников СВН и АВС имеем:
СН/ВС=ВС/АС или ВС²=СН*АС.
Что и требовалось доказать.
Прости,что только до 11