Ответ:
Пошаговое объяснение:
Сначала определим область D. Для этого находим точки пересечения линий y₁=3-x² и y₂=x-1. Для этого приравниваем функции:
y₁=y₂ ⇔ 3-x²=x-1 ⇔ x²+x-4=0: D=1²-4·1·(-4)=1+16=17,
x₁=(-1-√17)/2, x₂=(-1+√17)/2. Отсюда:
x₂+x₁= -1; x₂-x₁= √17; x₂·x₁=-4;x₂²-x₁²= -√17; x₂²+x₁²= 18.
Теперь область D можно выразить системой неравенств:
Тогда
![\displaystyle \int_{(D)} \int \limits {(x+y}) \, dxdy=\int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \, dx \int\limits^{3-x^{2} }_{x-1} {(x+y)} \, dy = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot y+\frac{y^{2} }{2} )} \ /^{3-x^{2} }_{x-1} ] \, dx =\\\\ = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot (3-x^{2}-(x-1))+\frac{(3-x^{2})^{2}}{2} -\frac{(x-1)^{2}}{2} } ] \, dx =](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%20%5Cint_%7B%28D%29%7D%20%5Cint%20%20%5Climits%20%7B%28x%2By%7D%29%20%5C%2C%20dxdy%3D%5Cint%5Climits%5E%7Bx_%7B2%7D%7D%20_%7Bx_%7B1%7D%7D%20%5C%2C%20dx%20%5Cint%5Climits%5E%7B3-x%5E%7B2%7D%20%7D_%7Bx-1%7D%20%7B%28x%2By%29%7D%20%5C%2C%20dy%20%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E%7Bx_%7B2%7D%7D%20_%7Bx_%7B1%7D%7D%20%5C%20%5B%20%7B%28x%20%5Ccdot%20y%2B%5Cfrac%7By%5E%7B2%7D%20%7D%7B2%7D%20%29%7D%20%5C%20%2F%5E%7B3-x%5E%7B2%7D%20%7D_%7Bx-1%7D%20%5D%20%5C%2C%20dx%20%3D%5C%5C%5C%5C%20%3D%20%5Cint%5Climits%5E%7Bx_%7B2%7D%7D%20_%7Bx_%7B1%7D%7D%20%5C%20%5B%20%7B%28x%20%5Ccdot%20%283-x%5E%7B2%7D-%28x-1%29%29%2B%5Cfrac%7B%283-x%5E%7B2%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20-%5Cfrac%7B%28x-1%29%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%7D%20%5D%20%5C%2C%20dx%20%3D "\displaystyle \int_{(D)} \int \limits {(x+y}) \, dxdy=\int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \, dx \int\limits^{3-x^{2} }_{x-1} {(x+y)} \, dy = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot y+\frac{y^{2} }{2} )} \ /^{3-x^{2} }_{x-1} ] \, dx =\\\\ = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot (3-x^{2}-(x-1))+\frac{(3-x^{2})^{2}}{2} -\frac{(x-1)^{2}}{2} } ] \, dx =")
